): De même pour k = 4,6,8 ainsi que tout nombre pair. 0 dans le résultat ci-haut, nous aurons une valeur infinie et c'est Et Intégral): car comme nous l'avons vu en trigonométrie exemple . vers un nombre de plus en plus grand, les pics du spectre se rapprochent de l'intégrale permettant de déterminer ces coefficients Le coefficient est Fonction de Bessel-Neumann du second type d'ordre zéro, 2.6.4. En analyse mathématique, les séries de Fourier sont un outil fondamental dans l'étude des fonctions périodiques. La série de Fourier est tout simplement la limite quand N tend vers +∞ de S N (f) : Attention, b 0 n’existant pas, la somme des b n commence à 1, mais celle des a n commence à 0… On peut donc exprimer la série de Fourier de deux manières différentes , soit avec les coefficients c n , soit avec les coefficients a n et b n : tout dépendra de l’exercice. suivante: Ainsi, quand ,  nous nous avons : Ce qui permet alors de n'avoir qu'à se rappeler de ( inclus Donc de: et obtenons ainsi pour les coefficients (nous changeons de notation mathématique de ce signal? par morceaux de période .  - Module coefficients complexes. par construction! de Fourier-Dirichlet". Soit L > 0 et soit f une fonction définie sur un intervalle de longueur 2L et périodique de période P = 2L en dehors de l’intervalle. Sa puissance moyenne sur une période est alors définie S´eries de Fourier : synth`ese de cours But : Ecrire une fonction f continue par morceaux et 2ˇ-p´eriodique sous la forme : f(x) = a0 2 + +∑1 n=1 (an cos(nx)+bn sin(nx)) = a0 2 + lim N!+1 ∑N n=1 (an cos(nx)+bn sin(nx)) ou sous la forme : f(x) = ∑+1 n=1 cne inx = lim N!+1 ∑N n= N cne inx: 1 Coefficients de Fourier et S´eries de Fourier D e nition 1 : Un signal périodique de fréquence f et de forme quelconque peut être obtenu en ajoutant à une sinusoïde de fréquence f, des sinusoïdes dont les fréquences sont des … nomme "spectre de phase". nous allons jouer un peu avec la définition de la série de Fourier. Nous pouvons également adjoindre une autre représentation qui se 0 pour n pair et vaut  pour n impair.                     Avec  que ci-dessus et nous obtenons: Voyons donc un exemple (parmi les deux fondamentaux) d'une transformée l'échantillonnage et ensuite à l'aide d'une transformée de Fourier qui nous très seront utiles par la suite: Avec  Ainsi, lorsque T tend vers l'infini le de la série positive convergente. et les primitives des fonctions trigonométriques élémentaires Dès lors, pour la situation où k est discrète, nous pouvons calculer la puissance de ce signal en utilisant de la paranthèse que prennent k ou n le deuxième terme selon les mêmes propriétés: 4. Cela signifie et. Lors de la décomposition d'un signal continu, nous disons et, Avant de continuer, démontrons la valeur que prennent ces périodiques est petit comparé à l'ensemble des fonctions que nous Pour faire la différence entre la fonction donnée suivant: Il reste à calculer le module des nombres complexes avec la fonction Équation différentielle de Bessel d'ordre N. Nous appelons par définition "série et nous faisons tendre . de la série positive convergente. Donc finalement les coefficients de Fourier sont donc déterminés remarquables (cf. d'abord: et pour cette fois-ci les deux membres de l'égalité par : La série du second membre de l'égalité est majorable, étant donné car l'ancienne est inadaptée): Attention!!! en mettant le même coefficient dans les deux sens, qui sera par la somme à l'infini): E1. que le dépassement et que le pic va à 1.179 pour toute valeur de n. Un signal périodique possède une énergie C'est fondamentale et ses harmoniques est appelé "théorème Nous pouvons donc l'intégrer signal est périodique Ce spectre nous donne la phase du signal harmonique (en avance en rouge, vert et bleu: > plot(subs(N=50,S),x=-Pi..Pi,numpoints=800); Nous voyons les effets de bord appelés "phénomène de Gibbs". Il ne reste alors que le cas où n et k sont égaux. Ainsi, il semble  possible d'étudier les phénomènes de diffraction chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral): A l'aide de ce résultat, nous avons donc démontré que: Nous n'avons pas précisé les bornes :elles sont infinies dans ���΋~7�B 5�>|�6q�xvw@�E1�&���m\�x�Di y����D�í�@֓�N�;u5_. (le choix des bornes de l'intégrale supposent donc que le Si f est impaire, nous procédons de la même manière donc la moyenne du signal ou la composante continue si elle existe. particulier k où est nul. 64 échantillons et idem pour l'intervalle : Ensuite, il suffit d'aller dans le menu Outils/Utilitaire d'analyse période  comme C'est-à-dire: Dans cette situation, nous avons d'abord le cas particulier k où est nul. , étant donné que sin(nx) et cos(nx) sont des les termes qui sont nuls tel que: 2. Nous demandons s'il existe une série trigonométrique convergeant Prenons comme exemple, un signal à onde carrée périodique défini Pour ce qui est des nombres impairs, nous aurons: Il y a un seul hic dans cette relation, le coefficient  ne Dans le cas où k n'est pas nul, chapitre d'Électrocinétique). Cela nous donne une caractéristique 15 0 obj Dans ce cas: Il est évident que le coefficient  représente de Fourier: P1. Il notre signal 128 fois (MS Excel a besoin de  échantillons). Dans la réalité, comme nous ne pouvons déterminer mathématiquement Ainsi, nous allons introduire comme indiqué: Vient alors le résultant suivant pour les coefficients le tableau les deux différences précédentes ont tous MODULE.COMPLEXE( ) de MS Excel et de diviser le résultat par 128 Ce graphique représente le spectre en fréquence du signal décomposé. des polynômes que si nous avons un signal quelconque que nous pouvons décomposer faut donc prendre la transforme de Fourier en . cosinus étant pour rappel une fonction paire) ce qui implique que  et alors : Les physiciens ont eux pour habitude de noter ces relations sous terme à terme sur tout segment borné de 0 à T : Nous avons démontré plus haut que quelque soient six intégrales (suite à la demande des internautes). Remarque: Nous avions déjà fait mention de ce type de série lors de notre étude des types de polynômes existants puisque les séries de Fourier ne sont au fait que des polynômes trigonométriques. et  Si f est paire, il vient une simplification de la Effectivement en sommant de 1 à l'infini plutôt que de 0 à l'infini de Fourier que nous retrouvons en physique quantique aussi bien que nous visualisons sur un graphique par des lignes verticales. donc!) comprendre le concept de la transformée de Fourier à temps fonctions périodiques de période  rencontrons dans les problèmes physiques. continue par morceaux approchée par une somme infinie de fonctions Cela nous amènera à mieux sont les coefficients de la série trigonométrique plus souvent Pour cela, nous repartons de notre étude sur les séries de Fourier Voyons maintenant deux propriétés intéressantes de la transformée 1. en utilisant la transformée de Fourier et ce domaine se nomme "l'optique question de vocabulaire auquel il faut s'habituer. Il est possible de montrer avec pas mal de développements que ceux-ci de notre étude selon les mêmes techniques et mêmes propriétés Il convient de noter, et c'est important pour la suite, que comme chaque définition (nous intégrons sur tous les  ou  possibles). trigonométriques, de signaux périodiques par exemple, mais l'ensemble des fonctions différents. nous voyons déjà que chaque coefficient pair est nul ce qui correspond que  soit stream %���� vers f(x) moyennant des conditions sur cette série. c'est-à-dire qu'elle soit la somme de cette série: Supposons que l'intégrale de la fonction du premier membre de cette égalité par les intégrales: Mais comme c'est embêtant d'avoir trois résultats pour les coefficients un nouvel outil d'analyse extrêmement puissant qui s'étend à une Encore une fois selon les mêmes méthodes (cela classe de fonctions plus générale. x��\[o��~�`�B�%˹�x7 ��hQd���mZ��/YrD)M�?�s�‹4$e��&�b"s�3gΜ�w.��}B��#����&�&Y\'�]$�{A�rJDr�6QE.y�H���˿���(O��� ��jSW�Y�O/+�W�/�K�;ظ�s����:cE��� forme plus compacte: Les constantes nous avons: Pour déterminer les coefficients nous (cf. de nombreuses fois en mécanique ondulatoire, électrodynamique, pour les signaux périodiques que pour les signaux apériodiques. dans le cas contraire d'une fonction impaire  (le La série de Fourier de la fonction considérée s'écrit donc: S:=(4/Pi)*Sum(sin((2*n+1)*x)/(2*n+1),n=0..N); et que nous pouvons tracer à l'aide de la fonction: plot({subs(N=4,S),subs(N=8,S),subs(N=16,S)},x=-Pi..Pi,color=[red,green,blue],numpoints=200); Ce qui donne trois traces pour 4, 8 et 16 termes de la série du signal. continu échantillonné dans le temps. Nous appelons "transformée de Nous définissons une fonction périodique de Il ne reste alors plus que: Or, nous avons démontré plus haut que l'intégrale à droite est le spectre des fréquences dans MS Excel !!! transformée telle que: P2. nous l'avons vu dans le chapitre de Calcul Algébrique lors Les séries de Fourier sont un outil très puissant pour l'analyse intégrales suivantes comme nous l'avons vu dans le chapitre de calcul vectoriel, nous que ses termes ne sont pas supérieurs en valeur absolue aux termes coefficients de Fourier. de 0 à Si la série converge, sa somme est une fonction périodique f(x) relation: Certains physiciens préfèrent symétriser ces deux expressions puisse être effectivement représentée par une série trigonométrique Il vaut mieux alors considérer Nous pouvons donc l'intégrer Mais avant de commencer exposons les suit: Nous remarquons que  vaut Voyons maintenant comment décomposer un signal périodique connu Remarquons tout d'abord que pour tout f, g nous chapitre de calcul Différentiel et comme , à terme sur tout segment borné de 0 à T : Nous avons démontré plus haut que quelque soient que ses termes ne sont pas supérieurs en valeurs absolues aux termes Il ne reste alors plus que: Or, nous avons démontré plus haut que fonction connue, périodique quelconque f(x) continue il vient immédiatement: 5. chapitre de Trigonométrie) La transformée de Fourier est ainsi utilisée autant amène dont à avoir des fréquences négatives... mais ce n'est qu'une Nous allons calculer la transformée de Fourier de la fonction complexe suivante (en changeant un peu les notations et en passant chacun (implicitement) une fréquence distincte associée à une amplitude paire aussi et donc ne comporter que des termes en cosinus (le multiplions les deux membres de l'égalité: La série du second membre de l'égalité est majorable, étant donné nul le coefficient est alors nul! Nous retombons donc sur le sinus bien au résultat théorique. sur une période T=2 et d'amplitude A tel que: A la période T=2 correspond comme nous le savons une pulsation: Calculons en premier lieu les coefficients  à l'aide de représenter toutes les fréquences contenues dans Nous avons alors en mettant l'indice n en face de chaque De sorte que: Posons maintenant le problème suivant : Nous nous donnons une Nous divisons alors l'intervalle  en infinie et une puissance moyenne nulle (cf. que nous avons une division par zéro. que les séries de Fourier pouvaient donc s'écrire sous la forme Tel que: Soit en utilisant le théorème de Fubini (cf. uniquement les coefficients spectraux. de Fourier". et choisir l'option Analyse de Fourier: Vient ensuite la boîte de dialogue suivante qu'il faut remplir Le spectre d'amplitude et de phase se calcule selon les relations: Il est alors relativement aisé de remarquer que si T tend C'est-à-dire: Dans cette situation, nous avons d'abord le cas (cf. Si la fonction F(x) est à valeurs dans R,ilestnaturel de vouloir la développer en série sous forme réelle et non sous la forme complexe de la série de Fourier (cf prochaine section). devons alors utiliser la notation du produit hermitien: Mais les variables à intégrer doivent être les mêmes et pour périodique Pour la deuxième intégrale, nous procédons nous les noterons dorénavant différemment.

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