1) Vecteurs colinéaires Définition : Deux vecteurs non nuls ! Entraîne-toi avec des exercices sur le sujet suivant : Vecteurs colinéaires, coplanaires ou orthogonaux, et réussis ton prochain contrôle de mathématiques en Terminale S (2019-2020) Un vecteur $AB$, noté $\overrightarrow{AB}$ et défini comme étant un segment orienté est principalement caractérisé par : $-\ $ Sa direction : celle de la droite $(AB)$. Colinéarité. "⃗ et (⃗ sont colinéaires signifie qu’ils ont même direction c’est à dire qu’il existe un nombre réel @ tel que !"⃗=@(⃗. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ ont la même direction et la même longueur mais ils ont des sens contraires (opposés). On a $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}$, $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}$, On a  $I$ milieu d'un segment $[AB]$ alors $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$, Soient $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D\;,\ E$ et $F$ six points du plan tels que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{EF}$, On a $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}$, $\centerdot\ \ $ Si $k>0$ alors $\vec{v}=k.\vec{u}$ signifie que les vecteurs $\vec{v}$ et $\vec{u}$ ont la même direction, le même sens et que la longueur du vecteur $\vec{v}$ est égale à $k$ fois la longueur du vecteur $\vec{u}.$, $\centerdot\ \ $ Si $k<0$ alors $\vec{v}=k.\vec{u}$ signifie que les vecteurs $\vec{v}$ et $\vec{u}$ ont la même direction, de sens opposés et que la longueur du vecteur $\vec{v}$ est égale à $k$ fois la longueur du vecteur $\vec{u}.$, $\centerdot\ \ $ Si $k=0$ alors $\vec{v}=0.\vec{u}=\vec{0}$. I Vecteurs colinéaires Définition : Deux vecteurs non nuls u et v sont dits colinéaires si, et seulement si, il existe un réel k tel que u =kv Remarque : Comme 0×u = 0, on considère que le vecteur nul est colinéaire à tous les autres vecteurs. Par définition, le vecteur nul ; noté $\vec{0}$ est un vecteur qui a pour longueur 0. Plus d'information sur les formats de texte. Soient $A$ et $B$ deux points d'un plan, on a  $\overrightarrow{AA}=\vec{0}$ et  $\overrightarrow{AB}=\vec{0}$ si, et seulement si, $A=B.$, Le vecteur nul a toutes les directions possibles ; $t_{\vec{0}}(M)=M$, Quelque soit un vecteur $\vec{u}$ d'un plan, il existe un vecteur  $\vec{u}'$ de ce plan tel que $\vec{u}+\vec{u}'=\vec{u}'+\vec{u}=\vec{0}$, Le vecteur $\vec{u}'$ est appelé le vecteur opposé de $\vec{u}$, Soit donc $\overrightarrow{AB}$ un vecteur du plan ; on a :$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}.$, \begin{eqnarray}\overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{AB}) & = & \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA} \nonumber \\ & = & \overrightarrow{AA} \nonumber \\ & = & \vec{0} \nonumber \end{eqnarray}, Si $I$ milieu de $[AB]$ alors $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$, Si $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ alors $I$ milieu de $[AB]$. Les adresses de pages web et de courriels sont transformées en liens automatiquement. Chap 3 Vecteurs. Calculons les sommes vectorielles suivantes : \begin{eqnarray}\overrightarrow{CS}+\overrightarrow{ST}+\overrightarrow{TP} & = & \overrightarrow{CT}+\overrightarrow{TP} \nonumber \\ & = & \overrightarrow{CP} \nonumber\end{eqnarray}, \begin{eqnarray}\overrightarrow{RS}-\overrightarrow{TS} & = & \overrightarrow{RS}+\overrightarrow{ST} \nonumber \\ & = & \overrightarrow{RT} \nonumber\end{eqnarray}. Le contenu de ce champ sera maintenu privé et ne sera pas affiché publiquement. Et si : $\left\lbrace\begin{array}{lll} M\in\;[AB] \\ N\in\;[AC] \end{array}\right.\quad(MN)\parallel(BC)$ ou $\left\lbrace\begin{array}{lll} A\in\;[BM] \\ A\in\;[CN] \end{array}\right.$ avec $\left\lbrace\begin{array}{lll} \overrightarrow{AC}=k.\overrightarrow{AN} \\ \overrightarrow{BC}=k.\overrightarrow{MN}\end{array}\right.$, Cette page est super,nous aimerons les cosultée toule temps merci. III. Le vecteur $\vec{w}$ est indépendant du point $A$ choisi mais dépend uniquement des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}.$. $A$ et $A'$ étant donnés deux points, $B$ un point de ce plan ; on construit le point $B'$ tel que, On notera $t_{\overrightarrow{AA'}}(B)=B'$ c'est à dire $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}$, $$\text{Si }\left\lbrace\begin{array}{lll} \cdot\;(AA')\parallel(BB') \\ \cdot\;[AA')\text{ et }[BB')\;\text{ de même sens }\text{ alors, }\;\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}\\ \cdot\;AA'=BB'\end{array}\right.$$, $\centerdot\ \ $ Si $I$ milieu de $[AB]$ alors $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$ ou encore $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$, Ainsi, si $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$ ou $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$ alors $I$ milieu de $[AB].$. $\centerdot\ \ $ Soient quatre points $A\;,\ B\;\ C$ et $D$ tels que $A\neq D$ et $B\neq C$, on a $(AB)\parallel(DC)$ si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ colinéaires. 2) Vecteur directeur d’une droite … Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs d'un plan et $A$ un point de ce plan. Soit $I$ milieu d'un segment $[AB]$ d'un plan. Deux vecteurs non nuls et sont colinéaires s’il existe un nombre réel k tel que . Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan, $a$ et $b$ deux nombres réels ; on a : $\centerdot\ \ a. $\centerdot\ \ $ Soient $I$ et $J$ deux points distincts, on a $M\in\;(IJ)$ si, et seulement si, $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IM}$ colinéaires. $\centerdot\ \ \overrightarrow{AC}=k.\overrightarrow{AB}$ alors $A\;,\ B$ et $C$ sont alignés. Remarques: Puisque le vecteur est non nul, alors le nombre réel k est forcément différent de 0. Autrement dit, deux vecteurs sont colinéaires si l’un est un multiple de l’autre. (b.\vec{u})=(a.b).\vec{u}$, $\centerdot\ \ a.\vec{u}=\vec{0}$ si, et seulement si, $a=0$ ou $\vec{u}=\vec{0}$, Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v}=k.\vec{u}.$. $\centerdot\ \ $ Les points $A\;,\ B$ et $C$ sont alignés si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ colinéaires. Par conséquent deux vecteurs (x u;y u) et (x v;y v) sont colinéaires si x u.y v - y u.x v = 0 Utiliser la colinéarité - Pour montrer que deux droites sont (AB) et (CD) sont parallèles il suffit de vérifier que les vecteurs et sont colinéaires (en utilisant l'une des 3 … Soient $\vec{u}\;,\ \vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs et un plan, on a : $\centerdot\ \ \vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$, $\centerdot\ \ \vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}$, \begin{eqnarray}\overrightarrow{NA}+(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CN}) & = & (\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AM})+\overrightarrow{CN} \nonumber \\ & = & \overrightarrow{NM}+\overrightarrow{CN} \nonumber \\ & = & \overrightarrow{CN}+\overrightarrow{NM} \nonumber \\ & = & \overrightarrow{CM} \nonumber \end{eqnarray}. Multiplication d'un vecteur par un nombre réel. La relation de Chasles est une interprétation de l'addition vectorielle. (\vec{u}+\vec{v})=a.\vec{u}+a.\vec{v}$, $\centerdot\ \ (a+b).\vec{u}=a.\vec{u}+b.\vec{u}$, $\centerdot\ \ a. Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs… Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ ont la même direction et la même longueur mais ils ont des sens contraires (opposés).

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